ما شكل الكون؟ علماء رياضيات يوظفون علم الطوبولوجيا لدراسة شكل الكون وكل ما فيه
ما شكل الكون؟ علماء رياضيات يوظفون علم الطوبولوجيا لدراسة شكل الكون وكل ما فيه
بقلم جون إتناير، أستاذ الرياضيات، معهد جورجيا للتكنولوجيا
What’s the shape of the universe? Mathematicians use topology to study the shape of the world and everything in it
February 26,2025
عندما تنظر إلى الوسط المحيط بك، فقد يبدو الأمر كما لو كنت تعيش على سطح أرض مستو. ولهذا نستطيع أن نعين المكان الذي نرغب في التوجه اليه في المدينة على الخريطة: والخريطة ورقة مسطحة ممثلة فيها جميع الأماكن في المحيط. ومن المحتمل أن هذا ما دعا بعض الناس سابقًا إلى الاعتقاد بسطحية الأرض. لكن معظم الناس الآن يعرفون أن ذلك الاعتقاد بعيد كل البعد عن الحقيقة.
فنحن بلا شك نعيش على سطح كرة عملاقة، تشبه كرة شاطئ بحجم الأرض تبدو عليها بعض النتوءات. سطح الكرة والسطح المنبسط هما حيزان ممكنان ثنائيا الأبعاد، وهذا يعني أنه بالإمكان المشي في اتجاهين: تجاه الشمال والجنوب أو اتجاه الشرق والغرب.
ما هي الأماكن الأخرى التي بالإمكان أن نعيش عليها؟ هذا يعني، ما هي الأسطح الثنائية الأبعاد الأخرى في المحيط التي يمكن العيش عليها؟ على سبيل المثال، سطح دونات عملاقة هو عبارة عن سطح ثنائي الأبعاد آخر.
الدونات الدائرية، والتي تسمى أيضًا بالطوق، هي شكل يمكن الحركة عبره في اتجاهين، تمامًا كسطح الأرض.
من خلال حقل علمي يسمى الطوبولوجيا الهندسية [1] ، يتناول علماء الرياضيات من أمثالي «الكلام للمؤلف [2] دراسة جميع الفضاءات الممكنة في جميع الأبعاد. سواء أكنا نحاول تصميم شبكات استشعار آمنة [3] ، أو التنقيب في البيانات [4] ، أو استخدام الأوريغامي «فن طي الورق الياباني» لنشر الأقمار الصناعية [5] ، فإن اللغة والأفكار الكامنة وراء ذلك هي لغة الطوبولوجيا على الأرجح.
عندما تلقي نظرة على ما حولك من الكون الذي تعيش فيه، فهو يبدو وكأنه فضاء ثلاثي الأبعاد، تمامًا كما يبدو سطح الأرض وكأنه سطح ثنائي الأبعاد. ومع ذلك، تمامًا كما الأرض، لو نظرت إلى الكون ككل، فقد يكون فضاءً أكثر تعقيدًا مما يبدو، ويشبه سطح كرة شاطئ عملاقة ثنائية الأبعاد أو شيء أكثر غرابة منها.
رغم أنك لست بحاجة إلى الطوبولوجيا لتعرف أنك تعيش على سطح كسطح كرة شاطئ عملاقة، إلا أن معرفة جميع الأسطح ثنائية الأبعاد الممكنة قد يكون مفيدًا. منذ أكثر من قرن من الزمن، اكتشف علماء الرياضيات جميع الأسطح ثنائية الأبعاد الممكنة والكثير من خصائصها [6] .
على مدى العقود القليلة الماضية، عرف علماء الرياضيات الكثير عن جميع الفضاءات الثلاثية الأبعاد [7] الممكنة. رغم أننا لا نملك معرفة كاملة كما هو الحال بالنسبة للأسطح ثنائية الأبعاد، إلا أننا نعرف الكثير عنها [8] . وباستخدام هذه المعرفة، بإمكان علماء الفيزياء والفلك أن يحاولوا معرفة الفضاءات الثلاثية الأبعاد التي يعيش عليها الناس بالفعل [9] .
بالرغم من أن الإجابة ليست معروفة تمامًا، إلا أن هناك الكثير من الاحتمالات المثيرة للاهتمام والمدهشة. وتصبح الخيارات أكثر تعقيدًا إذا أضفنا الزمن كبعدٍ أخر.
ولكي نعرف كيف يكون ذلك ممكنًا، لاحظ أنه لكي تحدد موقع ما في الفضاء - على سبيل المثال، على مذنب من المذنبات - فإنك تحتاج إلى أربعة أرقام: ثلاثة لوصف موقعه وواحد لوصف الزمن الذي يبقى المذنب في هذا الموقع. هذه الأرقام الأربعة هي ما يشكل فضاءًا رباعي الأبعاد.
الآن، يمكنك أن تفكر فيما هي الفضاءات الرباعية الأبعاد الممكنة وفي أي من هذه الفضاءات تعيش.
في هذه المرحلة، قد يبدو أنه لا يوجد سبب للنظر في فضاءات ذات أبعاد أكثر من أربعة أبعاد، لأن هذا هو البعد الأعلى الذي يمكن تخيله والذي قد يصف كوننا. لكن فرع من الفيزياء، معروف بـ نظرية الأوتار [10] ، يفيد بأن الكون له أبعاد أكثر بكثير من أربعة أبعاد.
هناك أيضًا تطبيقات عملية للتأمل في الفضاءات ذات الأبعاد العليا، مثل تخطيط طوبولوجيا حركة الروبوت [11] . افترض أنك تحاول فهم حركة ثلاثة روبوتات تتحرك على أرضية المصنع في مستودع المواد. يمكنك وضع شبكة على الأرض ووصف موضع كل روبوت بدلالة إحداثية س وص على الشبكة. نظرًا لأن كل روبوت من الروبوتات الثلاثة يتطلب إحداثيتين، فستحتاج إلى ستة أرقام لوصف جميع المواقع الممكنة للروبوتات. بإمكانك أن تفسر المواقع الممكنة للروبوتات كفضاء ذي 6 أبعاد.
بزيادة عدد الروبوتات، تزداد أبعاد الفضاءات. أخذ معلومات مفيدة أخرى بعين الاعتبار، مثل مواقع العوائق، يجعل الفضاءات أكثر تعقيدًا. ولكي نتمكن من دراسة هذه المشكلة، علينا دراسة الفضاءات ذات الأبعاد العالية.
هناك عدد لا يحصى من المشكلات العلمية الأخرى التي تظهر فيها فضاءات عالية الأبعاد، بدءً من نمذجة حركة الكواكب والمركبات الفضائية [12] إلى محاولة فهم ”شكل“ مجموعات البيانات الضخمة [13] .
نوع آخر من المسائل التي يدرسها علماء الطوبولوجيا هو كيف يمكن لفضاء ما أن يقع ضمن فضاء آخر.
على سبيل المثال، لو أمسكت بحلقة خيط معقودة، فسيكون لدينا مساحة أحادية الأبعاد «حلقة خيط» ضمن فضاء ثلاثي الأبعاد [7] «غرفتك». وتسمى هذه الحلقات بالعقد الرياضية «أو نظرية العقد [14] .
نشأت دراسة العقد [15] في البداية من حقل الفيزياء، ولكنها أصبحت مجالًا محوريًا في علم الطوبولوجيا. وتعتبر ضرورية لفهم العلماء الفضاءات الثلاثية الأبعاد ورباعية الأبعاد وبنيتها الدقيقة وبسبب ذلك لا يزال الباحثون يحاولون فهمها [16] .
العقد هي أمثلة على أحياز ضمن أحياز أخرى.
بالإضافة إلى ذلك، فإن العقد لها الكثير من التطبيقات، بدءً من نظرية الأوتار [17] في الفيزياء إلى الحمض النووي المعاد التركيب [18] [19] في البيولوجيا إلى الكيرالية في الكيمياء [20] .
تعتبر الطوبولوجيا مفيدة حاليًا في العلوم والهندسة. كشف المزيد من أسرار الفضاءات في جميع الأبعاد سيكون ذا قيمة لا تقدر بثمن لفهم الكون الذي نعيش فيه وحل مشكلات العالم الحقيقي.
